Ahoj, už nějakou dobu se zabývám zápočtovým příkladem, ale zasekl jsem se. Prosím tedy o pomoc někoho, kdo by se na to dokázal podívat z jiného úhlu nežli já a nakopl by mě správným směrem. V tom co jsem zatím dal dohromady by neměla být žádná zásadní chyba (konzultace). Otázku nechám na konec...

Zadání
$
y' = 2\left(\frac{y+4}{x+y-5}\right)^2
$
Determinant
$
\begin{vmatrix}
0 1 \\
1 1 \\
\end{vmatrix}= -1 \neq 0$
Det je nenulovy => Posun souřadnic
$
t+A=x\\
u+B=y\\
\dot{u}=y'
$

$
\dot{u} = 2\left(\frac{u+B+4}{t+A+u+B-5}\right)^{2}\\
\dot{u} = 2\left(\frac{u+B+4}{t+u+A+B-5}\right)^{2}\\
$
Soustava rovnic:
$
B+4=0\\
\underline{A+B-5=0}\\
\underline{\underline{B=-4}}\\
A-4-5=0\\
\underline{\underline{A=9}}\\
$
$
x=t+9\\
y=u-4\\
$
$
\dot{u} = 2\left(\frac{u}{t+u}\right)^{2}\\
\dot{u} = 2\left(\frac{t\frac{u}{t}}{t(1+u)}\right)^{2} /:t\neq0
$
$
?t=0\\
t=0\Rightarrow\dot{u}=2; y'=\dot{u}\Rightarrow y'=2\\
y=2x+c-4;c\in R\\
y=2x+c; (c-4=c);c\in R\\
$
$
\dot{u} = 2\left(\frac{\frac{u}{t}}{1+u}\right)^{2}
$
Použiju substituci:
$
u=tz\\
\dot{u}=\dot{z}t+z\\
\frac{u}{t}=z\\
$
Získám:
$
\dot{z}t+z=2\left(\frac{z}{1+z}\right)^{2}\\
\dot{z}t+z=\frac{2z^{2}}{1+2z+z^{2}} /-z\\
\dot{z}t=\frac{2z^{2}-z-2z^{2}-z^{3}}{1+2z+z^{2}}\\
\dot{z}t=\frac{-z-z^{3}}{1+2z+z^{2}} /\cdot(1+2z+z^{2}) /:t\neq0 /:(-z-z^{3})\neq0\\
$
$
?z^{3}=0\\
(1+2\cdot0+0^{2})0=\frac{-0-0^{3}}{t}\\
0=0\\
z\equiv0 je reseni\\
$
$
\frac{(1+2z+z^{2})\dot{z}}{-z-z^{3}}=\frac{1}{t}\\
$
Integruju
$
\int\frac{(1+2z+z^{2})}{-z-z^{3}}\, {\rm d} z=\int\frac{1}{t}\, {\rm d} t\\
$
1. integrál
$
\int\frac{(1+2z+z^{2})}{-z-z^{3}}\, {\rm d} z\\
$
Parciální zlomek
$
\frac{(1+2z+z^{2})}{z(-z^{2}-1)} = \frac{A}{-z^{2}-1} + \frac{B}{z}\\
1+2z+z^{2}=Az+B(-z^{2}-1)\\
A=2\\
B=-1\\
$
$
-\int\frac{2}{-z^{2}-1}\, {\rm d} z - \int\frac{1}{z}\, {\rm d} z=-2\rm arctg z+c-\ln{|z|}+c ;c\in R\\
$
2. integrál
$
\int\frac{1}{t}\, {\rm d} t=\ln{|t|}+c ;c\in R\\
$
Získáme:
$
-2\rm arctg z+c-\ln{|z|}+c=\ln{|t|}+c /-2c ;c\in R\\
-2\rm arctg z-\ln{|z|}=\ln{|t|}+c ;c\in R ;(c-2c=c)\\
\ln{e^{-2\rm arctg z}}-\ln{|z|}=\ln{|t|}+\ln{c}
$

Do teď by to šlo. Nejsem si jistý prakticky jen kontrolami "pokud se něco rovná nule".
Dále jsem zkoušel podle vzorce sloučit logaritmy a pak se jich zbavit, vracet substituce atp. Jenže bez úspěchu. Počty by nebyly až takový problém, ale nevidím za tím žádný hlubší smysl a tak jsem sem schopný vyvodit nějaký závěr. Kdyby mi někdo pomohl s finishem tohohle přikladu, byl bych velice rád. Díky.